Cho hàm số \(y=-x^3+3x^2+3mx-1\left(1\right)\), với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (\(0;+\infty\))
Cho hàm số \(y=-\frac{m-1}{3}x^3+\left(m+2\right)x^2+3mx+5\), với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\)
Ta có \(y'=-\left(m-1\right)x^2+2\left(m+2\right)+3m\) \(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\Leftrightarrow y'\ge0,x\in\left(-\infty;-2\right)\)(*)
Vì y'(x) liên tục tại x = -2 nên (*) \(\Leftrightarrow y'\ge0;\)
và mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ] (*)
\(\Leftrightarrow-\left(m-1\right)x^2+2\left(m+2\right)x+3m\ge0\), mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ]
\(\Leftrightarrow m\left(-x^2+2x+3\right)\ge-x^2-4x\), mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ]\(\Leftrightarrow m\le g\left(x\right)\), mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ] (Trong đó \(g\left(x\right)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\))
\(\Leftrightarrow m\le Min_{\left(-\infty;-2\right)}g\left(x\right)\)
Xét hàm số \(g\left(x\right)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\) trên đoạn (-\(-\infty;2\) ]
\(\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{-6\left(x^2+x+2\right)}{\left(-x^2+2x+3\right)^2}=\frac{-6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}{\left(-x^2+2x+3\right)^2}<0\),mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ]
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) là hàm số nghịch biến trên (-\(-\infty;2\) ]
\(\Rightarrow Min_{\left(-\infty;-2\right)}g\left(x\right)=g\left(-2\right)=-\frac{4}{5}\)
Vậy \(m\le-\frac{4}{5}\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\)
Cho hàm số \(y=-x^3+\left(m+1\right)x^2+m\left(m-3\right)x-\frac{1}{3}\left(1\right)\), với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)\(\Rightarrow y'\le0,x\in\left(1;+\infty\right)\) (*)
Trường hợp 1 : Nếu \(\Delta'\le0\Leftrightarrow4m^2-7m+1\le0\Leftrightarrow\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{7+\sqrt{33}}{8}\) thì theo định lí về dấu tam thức bậc 2 ta có \(y'\le0,x\in R\Rightarrow\) (*) luôn đúng.
Trường hợp 2 : Nếu \(\Delta'>0\Leftrightarrow4m^2-7m+1>0\Leftrightarrow m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(m\ge\frac{7+\sqrt{33}}{8}\)thì (*) đúng
\(\Leftrightarrow\) phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) mà \(x_1<\)\(x_2\) và thỏa mãn x1 < x2 <= 1
\(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 ta có
\(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)
Vẽ đồ thị của các hàm số \(y=3x+1\) và \(y=-2x^2\). Hãy cho biết:
a) Hàm số \(y=3x+1\) đồng biến hay nghịch biến trên R.
b) Hàm số \(y=-2x^2\) đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\)
Vẽ đồ thị \(y = 3x + 1;y = - 2{x^2}\)
a) Trên \(\mathbb{R}\), đồ thị \(y = 3x + 1\) đi lên từ trái sang phải, như vậy hàm số \(y = 3x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
b) Trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\), đồ thị \(y = - 2{x^2}\)đi lên từ trái sang phải với mọi \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\) , như vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), đồ thị \(y = - 2{x^2}\)đi xuống từ trái sang phải với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) , như vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
tìm các giá trị của m để hàm số
a) \(y=\dfrac{mx+25}{x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;1\right)\)
b) \(y=\dfrac{x+2}{x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-5\right)\)
Cho hàm số \(y=\frac{-mx+4}{x-m}\left(1\right)\), với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\)
Ta có : \(y'=\frac{m^2-4}{\left(x-m\right)^2},x\ne m\) nên hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-\(\infty\);3] khi và chỉ khi \(\begin{cases}y'>0,x\in\left(-\infty;3\right)\\m\notin\left(-\infty;3\right)\end{cases}\)\(\begin{cases}m^2-4>0\\m>3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\)m<-2 hoặc m>2 và m>3 <=> m>3
Vậy m>3 thì hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty\);3]
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \(\in\left(-20;20\right)\) để hàm số y = \(\dfrac{x-1}{x-m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\)
\(y'=\dfrac{x-m-x+1}{\left(x-m\right)^2}=\dfrac{1-m}{\left(x-m\right)^2}\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\Leftrightarrow y'< 0\forall x\in\left(-\infty;2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m< 0\\x\ne m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\ge2\end{matrix}\right.\Rightarrow m\ge2\)
Có 19-2+1=18 giá trị nguyên của m thỏa mãn
Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho:
a) Nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);
b) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)
\({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)
\({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Cho hàm số \(y=\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2\).3 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\)
\(y=\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2\)(1)
+) Nếu \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\)thì :
(1) \(\Leftrightarrow y=-2x+3\)là hàm số bậc nhất có hệ số góc \(-2< 0\Rightarrow\)hàm số nghịch biến trên \(R\)
=> Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;2\right)\)
Vậy khi \(m=1\)hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;2\right)\)(2)
+) Nếu \(m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\)thì (1) là hàm số bậc hai
(1) nghịch biến trên \(\left(-\infty;2\right)\)thì đồ thị h/s có bề lõm hướng lên trên
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=m-1>0\\-\frac{b}{2a}\ge2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>1\\\frac{2m}{2\left(m-1\right)}\ge2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>1\\m-2\left(m-1\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>1\\m\le2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1< m\le2\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>1\\m-2\left(m-1\right)\ge0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>1\\m\le2\end{cases}}\end{cases}}\)(3)
Từ (2) và (3) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;2\right)\)thì \(1\le m\le2\)
Tìm m để hàm số:
\(y=x^3-3mx^2+6\left(m^2-2\right)x+1\) đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\)
\(y'=3x^2-6mx+6\left(m^2-2\right)=3\left(x^2-2mx+2m^2-4\right)\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi với mọi \(x>2\) ta có \(y'\ge0\)
\(\Delta'=m^2-\left(2m^2-4\right)=-m^2+4\)
TH1: \(\Delta'\le0\Leftrightarrow-m^2+4\le0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1< x_2\le2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2+4>0\\\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\le0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< m< 2\\2m^2-4m\le0\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le m< 2\)
Kết hợp lại ta được: \(\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge0\end{matrix}\right.\)